《多元函数微分学》相关知识点、题型及解题思路总结

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一、多元函数的基本概念及函数

主要内容：以二元函数为例：邻域的描述(圆邻域、方形邻域)，二元函数的两种几何描述、等值线和等值面、二重极限、累次极限及其相互关系、二重极限的计算、判定二重极限不存在性的思路与方法、多元函数连续性的定义及判定，闭区域上连续的多元函数的性质。

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二、偏导数与全微分及其计算方法

主要内容：偏导数的定义、偏导数的几何意义，显函数偏导数的计算、具体一点和抽象函数偏导数的计算思路与方法；高阶偏导数的定义、描述与计算；高阶混合偏导与求导顺序无关的判定；全增量与全微分的定义与计算、全微分与偏导数的关系；偏导数的存在性、函数的连续性、函数的可微性、偏导数的连续性三者的关系证明、分析与讨论；函数可微的必要条件与充分条件；偏增量与偏微分；多元函数单个变量的中值定理、全微分与偏微分的关系。

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三、多元复合函数和隐函数求导思路与方法

主要内容：多元复合函数求导的链式法则、变量关系图的绘制、复合函数求导的基本思路与步骤；一般隐函数求导的基本原则与思路

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四、方向导数与梯度

主要内容：方向导数的定义、几何意义与实际意义；方向导数的计算思路与方法；方向导数的存在性、函数的连续性、函数偏导数的存在性、函数偏导数的连续性、函数的可微性之间的关系；梯度的定义、几何意义及实际意义；方向导数与梯度的关系。

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五、多元函数微分学的应用

主要内容：各种类型描述的空间曲线的切线与法平面、空间曲面的切平面与法线方程的计算；多元函数一阶导数(梯度)与二阶导数(黑塞矩阵)的描述；多元函数的一阶、二阶泰勒公式；二元函数的高阶泰勒公式；正定、负定矩阵的判定；多元函数极值的定义；函数取极值的必要条件、充分条件；无条件极值计算判定的一般思路与步骤；条件极值判定与计算的一般思路与步骤；多元函数最值计算的一般思路与步骤。

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关于二元函数连续性，可导性，可微性，偏导数的存在性与连续性，方向导数等内容和各类多元复合函数求导、隐函数求导的各种类型及求导思路与方法、多元函数的无条件极值与条件极值的具体步骤、详细讨论与实例分析，参见“《高等数学》解题思路与典型考题解析课程”相关章节的视频教学，在对应章节内容中，对相关内容借助实例进行了详细的分析与探讨，更多典型题分析则可以参见历届竞赛解析视频。

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参考课件节选

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